§1.1微分方程概述

Overview of Differential Equations

MIT公开课《微分方程和线性代数》1.1微分方程概述​v.youku.com

本讲是对微分方程的概述，希望对于各类微分方程给出一个清晰的图像。我们在应用中最常接触的就是一阶常微分方程和二阶常微分方程。

• 一阶常微分方程

一阶常微分方程中会出现的导数最高阶为一阶导数。

微分方程有很多具体应用，例如函数y可以银行中的存款，随时间增长、衰减或者振荡，y也可以是弹簧的长度，描述一个物理模型。

• 二阶常微分方程

二阶常微分方程中会出现二阶导数，二阶导数为加速度项。它可以告诉我们曲线的弯曲状态信息（二阶导数大则曲线尖锐）。牛顿第二定律给出了加速度是外力的函数，即

对于二阶常微分方程而言，我们希望f(t)是线性函数，不仅如此更希望其参数m，b，k均是常数，这样通常才在可处理的范围之内。如果f(t)是一个很不错的函数，例如指数函数（它经常出现在微分方程中，如

• 微分方程组

在实际应用中，系统不可能只包含一个弹簧或者一个阻尼器，因此我们面对的是多个微分方程组成的微分方程组。在

y是向量，包含y1至yn，而 A是nxn矩阵。同样地，二阶微分方程组为 S是nxn矩阵，我们希望这是一个对称矩阵，这样较容易处理。

方程组中的方程是相互耦合的，通过引入特征值和特征向量这两个线性代数的重要概念，将可以对方程有效化简，将耦合的方程去耦。

• 数值解法

另一个学习的重点就是微分方程的数值解法，这是我们在实际中应用最广泛的方法。Cleve Moler博士录制了一门平行的视频课程介绍在MATLAB中求解微分方程。MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数ODE45，它是最常用的求解常微分方程数值解的函数命令，4和5意味着该算法有很高的精度，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差。

• 偏微分方程

本课程最后会触及到偏微分方程，例如